Par : M.Etienne
Publié : 11 février 2013

Ejercicio A1 Junio 2012

Dados dos números $a$ y $b$ distintos, determine si la matriz $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & b \\ 1 & a^2 & b^2 \end{pmatrix} $ posee inversa en función de los valores de $a$ y $b$.

Indications

Una Matriz tiene inversa cuando y solo cuando su determinante es distinto de cero.

Solution

Entonces $ A$ posee inversa cuando $ a\neq 1 $, $ b\neq 1$ y $ a\neq b$.

Correction

$\vert A \vert =\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & a-1 & b-1 \\ 1 & a^2-1 & b^2-1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a-1 & b-1 \\ a^2-1 & b^2-1 \end{vmatrix}=(a-1)(b^2-1)-(a^2-1)(b-1)$

$=(a-1)(b-1)(b+1)-(a-1)(a+1)(b-1)=(a-1)(b-1)(b+1-a-1)=(a-1)(b-1)(a-b)$

$\vert A \vert=0 \Longleftrightarrow (a-1)(b-1)(a-b)=0 \Longleftrightarrow a=1 \quad ó \quad b=1 \quad ó \quad a=b$

Entonces $A$ posee inversa cuando $a\neq 1 $, $b\neq 1$ y $a\neq b$.