Par : M.Etienne
Publié : 7 mai 2013

A4 07 junio 2012

Calcule el área de la región del plano delimitada por la gráfica de la función $f(x)=x^3-x$ en el intervalo [-1 ;1] y el eje (OX).

Indications

Hay que estudiar el signo de f en el intervalo [-1 ;1] y luego integrar... y bien.

Solution

Area$=-2\int_{0}^{1} f(x)\;\text{d}x=-2\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2} \right]_0^1=\frac{1}{2}\;\text{u.a.}$

Correction

Factorizamos :

$f(x)=x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)$

En el intervalo [-1 ;1], $(x-1)<0$

Entonces en el intervalo [-1 ;0],$f(x)>0$ y en el intervalo [0 ;1],$f(x)<0$.

Pues tenemos :

Area$=\int_{-1}^0 f(x)\;\text{d}x-\int_{0}^{1} f(x)\;\text{d}x$

Se puede ver y demostrar que f es impar, por lo cual :

$\int_{-1}^0 f(x)\;\text{d}x=-\int_{0}^{1} f(x)\;\text{d}x$

Entonces :

Area$=-2\int_{0}^{1} f(x)\;\text{d}x$

Calculamos :

Area$=-2\int_{0}^{1} f(x)\;\text{d}x=-2\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2} \right]_0^1=\frac{1}{2}\;\text{u.a.}$