Espace pédagogique du Lycée Français de Murcie

Correction du nº47 page 154 : 1)

2)

Le triangle ABC semble rectangle isocèle en C.

Démonstration :

L’idée : comme $\left(\stackrel{\to }{\mathrm{CA}};\stackrel{\to }{\mathrm{CB}}\right)=\mathrm{arg}\left|\frac{{z}_{A}-{z}_{B}}{{z}_{A}-{z}_{C}}|\left[2\pi \right]$ et $\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{CB}}=\left(\frac{{z}_{A}-{z}_{B}}{{z}_{A}-{z}_{C}}\right)$ .On calcule( mise sous forme algébrique) : $\frac{{z}_{B}-{z}_{C}}{{z}_{A}-{z}_{C}}=\frac{2+i-1+i}{-1-1+i}=\frac{1+2i}{-2+i}=\frac{\left(1+2i\right)\left(-2-i\right)}{{2}^{2}+{1}^{2}}=\frac{-2-i-4i-{2i}^{2}}{5}=\frac{-2-i-4i+2}{5}=\frac{-5i}{5}=-i$

Comme $\mathrm{arg}\left(-i\right)=-\frac{\pi }{2}\left[2\pi \right]$ et $\left(-i\right)=1$ alors $\left(\stackrel{\to }{\mathrm{CA}};\stackrel{\to }{\mathrm{CB}}\right)=-\frac{\pi }{2}\left[2\pi \right]$ et $\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{CB}}=1$ .

Donc ABC est rectangle isocèle en C.

3)

Soit G l’isobarycentre de ABC – c’est donc le centre de gravité de ABC, point de concours des médianes-, on a : ${z}_{G}=\frac{{z}_{A}+{z}_{B}+{z}_{C}}{3}=\frac{-1+2+i+1-i}{3}=\frac{2}{3}$