Un deuxième problème d’optimisation.
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Soit un rectangle ABCD tel que $AB={10}$ et $BC={7}$ et un nombre réel $x$ tel que ${0} \leq x \leq {7}$.
On place sur les côtés du rectangle les points M,N,P et Q tels que que $AM=BN=CP=DQ=x$.
Démontrer qu’il existe une valeur de $x$ qui rend l’aire du quadrilatère MNPQ minimale. Calculer cette aire.
Illustration :
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Créé avec GeoGebra |
« Aide » :
a/ Démonter que le quadrilatère MNPQ est un parallélogramme. ( Est-ce vraiment utile ? Notre esprit mathématique, en tous cas, nous l’impose...)
b/ Calculer l’aire $A\left( x\right) $ du parallélogramme MNPQ en fonction de $x$.
c/ Étudier les variations de la fonction A sur l’intervalle $I=[{0} \mathrm{;} {7}]$.
En déduire qu’il existe une valeur de $x$ qui rend l’aire du parallélogramme minimale. Calculer cette aire.
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