Par : M.Etienne
Publié : 7 mai 2013

A4 05 junio 2012

Calcule la integral de la función $f(x)=\left(x^2+1\right)^5$ en el intervalo [-1 ;1], empleando el cálculo del valor $\int_0^1 \left(x^2+1\right)^5 \;\text{d}x$

Indications

f es par entonces $\int_{-1}^1 \left(x^2+1\right)^5 \;\text{d}x=2\int_0^1 \left(x^2+1\right)^5 \;\text{d}x$

Lluego hay que desarollar... ó utilizar el binomio de Newton y el triangulo de pascal. (Ver aqui : http://www.youtube.com/watch?v=iQF93rRX9GU).

Solution

$I=2 \int_0^1 ({x}^{10}+5\,{x}^{8}+10\,{x}^{6}+10\,{x}^{4}+5\,{x}^{2}+1) \;\text{d}x\\ =2\left[\frac{{x}^{11}}{11}+\frac{5\,{x}^{9}}{9}+\frac{10\,{x}^{7}}{7}+2\,{x}^{5}+\frac{5\,{x}^{3}}{3}+x\right]_0^1=\frac{9344}{693}$