Calcule
$ \int_{}^{}{{\frac{2^{x}}{2^{2x}+2}}} \ \textrm{d}x$
Indications
Hay que ver que $2^{2x}= \left (2^{x} \right )^{2}$. Entonces seguramente que hay que buscar una forma del tipo ${{\frac{u'}{1+u^{2}}}}$ que es la derivada de $ \arctan \left( u\right) $...
Solution
${{\frac{ \sqrt[{}]{2} }{2 \ln \left( 2\right) }}} \arctan \left ({{\frac{2^{x}}{ \sqrt[{}]{2} }}} \right )$
Correction
Sea $f\left( x\right) ={{\frac{2^{x}}{2^{2x}+2}}}$.
$f\left( x\right) ={{\frac{2^{x}}{2^{2x}+2}}}={{\frac{1}{2}}} \times {{\frac{2^{x}}{{{\frac{\left( 2^{x}\right) ^{2}}{2}}}+1}}}={{\frac{1}{2}}} \times {{\frac{2^{x}}{ \left ({{\frac{2^{x}}{ \sqrt[{}]{2} }}} \right )^{2}+1}}}$.
Sea $u\left( x\right) ={{\frac{2^{x}}{ \sqrt[{}]{2} }}}={{\frac{1}{ \sqrt[{}]{2} }}}e^{x \ln 2}$.
Entonces $u'\left( x\right) ={{\frac{1}{ \sqrt[{}]{2} }}} \times \ln 2 \times e^{x \ln 2}={{\frac{ \ln 2}{ \sqrt[{}]{2} }}} \times 2^{x}$.
Entonces $f\left( x\right) ={{\frac{1}{2}}} \times {{\frac{ \sqrt[{}]{2} }{ \ln 2}}} \times {{\frac{u'}{u^{2}+1}}}$.
Finalmente,
$ \int_{}^{}{{\frac{2^{x}}{2^{2x}+2}}} \ \textrm{d}x={{\frac{ \sqrt[{}]{2} }{2 \ln 2}}} \arctan \left ({{\frac{2^{x}}{ \sqrt[{}]{2} }}} \right )$
