Par : M.Etienne
Publié : 9 mai 2012

Ejercicio A4_J_2011_M02

Calcule el área de la región del plano delimitada por las gráficas de las funciones siguientes :
$f\left( x\right) =x^{3}-x$ y $g\left( x\right) =x^{2}-1$ definidas en el intervalo $ \left [-1;1 \right ]$

Indications

El área de la región es igual a $ \int_{-1}^{1}\textrm{|}f\left( x\right) -g\left( x\right) \textrm{|} \textrm{d}x$.
Para poder calcular esta integral hay que estudiar la posición relativa de las dos gráficas, estudiando el signo de $f\left( x\right) -g\left( x\right) $.

Solution

${{\frac{4}{3}}} \ \textrm{u.a}$

Correction

Sea $d\left( x\right) =f\left( x\right) -g\left( x\right) =x^{3}-x^{2}-x+1$ , es un polinomio de grado $3$.
Vemos que $d\left( 1\right) =0$ entonces $d\left( x\right) $ es "factorizable" por $x-1$.
Luego por identificación o división de polinomios ( $x^{3}-x^{2}-x+1$ entre $x-1$) se obtiene que :
$d\left( x\right) =\left( x-1\right) \left( x^{2}-1\right) =\left( x-1\right) \left( x-1\right) \left( x+1\right) =\left( x-1\right) ^{2}\left( x+1\right) $.
Para todo $x \in \left [-1;1 \right ]$ ; $\left( x-1\right) ^{2} \geq 0$ y $x+1 \geq 0$, entonces :
Para todo $x \in \left [-1;1 \right ]$ ; $d\left( x\right) \geq 0$ , eso significa que la gráfica de $f$ esta por encima de la $g$ en el intervalo $ \left [-1;1 \right ]$ cortándose en $-1$ y $1$.
Pues,
$ \int_{-1}^{1}\textrm{|}f\left( x\right) -g\left( x\right) \textrm{|} \textrm{d}x= \int_{-1}^{1}f\left( x\right) -g\left( x\right) \textrm{d}x= \int_{-1}^{1}\left( x^{3}-x^{2}-x+1\right) \textrm{d}x=$
$= \left [{{\frac{x^{4}}{4}}}-{{\frac{x^{3}}{3}}}-{{\frac{x^{2}}{2}}}+x \right ]_{-1}^{1}={{\frac{1}{4}}}-{{\frac{1}{3}}}-{{\frac{1}{2}}}+1- \left ({{\frac{1}{4}}}+{{\frac{1}{3}}}-{{\frac{1}{2}}}-1 \right )=-{{\frac{2}{3}}}+2={{\frac{4}{3}}} \textrm{u.a}$.

Ilustración :