Resuelva el sistema $S_{\lambda}\equiv\left\lbrace\begin{array}{cccc} 3\lambda x & 2y & 3z & =1 \\ x & - \lambda y & -z & =1 \\ x & -y & -z & =\lambda \end{array} \right.$ para aquellos valores de $\lambda$, que hacen al sistema compatible y determinado.
Indications
Un sistema es compatible y determinado cuando $ \textrm{Rango}\left( A\right) = \textrm{Rango}\left( A^{*}\right) = \textrm{nº de incognitas}$.
Entonces hay que determinar los valores de $ \lambda $ para que el determinante de $ \lambda $ no sea nulo y luego resolver el sistema en función de $ \lambda $ para dichas valores.
Solution
Para $ \lambda \neq -1$ y $ \lambda \neq 1$ ;
$S_{ \mathbb{R} }= \left \{ {{\frac{3 \, \lambda +2}{3 \, \lambda +3}}};1;-{{\frac{3 \, { \lambda }^{2}+3 \, \lambda +1}{3 \, \lambda +3}}} \right \} $
Correction
Sea $A= \left( \matrix{3 \lambda & 2 & 3 \cr 1 & - \lambda & -1 \cr 1 & -1 & -1} \right) $ y Sea $A^{*}= \left( \matrix{3 \lambda & 2 & 3 & 1 \cr 1 & - \lambda & -1 & 1 \cr 1 & -1 & -1 & \lambda } \right) $.
Hay $3$ incógnitas entonces para que $A$ sea de rango $3$ el determinante de $A$ tiene que ser distinto de $0$ y tendremos por consecuencia que el rango de $A^{*}$ sea también de $3$ porque $A^{*}$ tendrá un menor, el mas grande posible, distinto de $0$.
Con la regla de Sarrus obtenemos :
$\textrm{|} A\textrm{|}= \left | \matrix{3 \lambda & 2 & 3 \cr 1 & - \lambda & -1 \cr 1 & -1 & -1} \right | =\left( 3 \lambda \right) \times \left( - \lambda \right) \times \left( -1\right) +\left( 3\right) \times \left( 1\right) \times \left( -1\right) +\left( 2\right) \times \left( -1\right) \times \left( 1\right) -\left( 1\right) \times \left( - \lambda \right) \times \left( 3\right) -\left( -1\right) \times \left( -1\right) \times \left( 3 \lambda \right) -\left( -1\right) \times \left( 1\right) \times \left( 2\right) =$
$=3 \lambda ^{2}-3=3\left( \lambda ^{2}-1\right) =3\left( \lambda +1\right) \left( \lambda -1\right) $.
$\textrm{|} A\textrm{|}=0 \Leftrightarrow A=-1 \textrm{ ó } A=1$.
Entonces el sistema sera compatible determinado para $ \lambda \neq -1$ y $ \lambda \neq 1$.
Podemos resolverlo par el metodo de Cramer :
$x={{\frac{\textrm{|} A_{x}\textrm{|}}{\textrm{|} A\textrm{|}}}}={{\frac{3 \, \lambda +2}{3 \, \lambda +3}}}$ ; $x={{\frac{\textrm{|} A_{y}\textrm{|}}{\textrm{|} A\textrm{|}}}}=1$ y $x={{\frac{\textrm{|} A_{z}\textrm{|}}{\textrm{|} A\textrm{|}}}}=-{{\frac{3 \, { \lambda }^{2}+3 \, \lambda +1}{3 \, \lambda +3}}}$
