Solution de l’exercice supplémentaire
Soit H le barycentre de (A,$\alpha$) et (B,$\beta$) (En supposant que $\alpha$+$\beta$≠0)
Comme$\alpha$et $\beta$ sont de même signe alors H appartient au segment [AB].
De plus, par associativité , G est le barycentre de (H,$\alpha$+$\beta$) et (C,$\gamma$)
Comme $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ sont de même signe alors $\alpha$+$\beta$ et $\gamma$ sont de même signe, on en déduit alors que G appartient au segment [HC]. Donc G est bien situé à l’intérieur du triangle ABC.
(Dans le cas où $\alpha$+$\beta$=0, On défini H comme barycentre de (A,$\alpha$) et (C,$\gamma$) ou de (C,$\gamma$)et (B,$\beta$). Une des sommes $\alpha$+$\gamma$ou $\gamma$+$\beta$ est nécessairement non nulle sinon $\alpha$+$\beta$+$\gamma$ serait nulle)
L’animation correspondante :
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